Do Pí à IAProfª Dra. Lessandra Marcelly

História da matemática · 20 marcos · 5 AVM™

História da Matemática com IA: do axioma ao algoritmo.

Uma linha contínua de 2.300 anos, de Euclides aos Transformers, para ler, ouvir e manipular.

A história da matemática com IA não começa nos computadores: começa quando os gregos decidiram que uma afirmação só vale se for demonstrada. Esta página percorre essa ideia, a de dar forma rigorosa ao pensamento, desde Os Elementos de Euclides até as leis de escala dos grandes modelos de linguagem. Em cada parada você mexe na matemática com as próprias mãos: curva o plano, soma palavras como vetores e vê para onde um Transformer “olha”.

Começar pela linha do tempo

2.300anos de história

7atos

5artefatos manipuláveis

3idiomas · com áudio

O fio de ouro: do triângulo de Euclides (soma 180°) ao triângulo hiperbólico (soma menor que 180°), à fita de Turing e à matriz de atenção.

Como esta história é contada

Uma síntese, com as costuras à mostra

Duas escolhas guiam esta história da matemática com IA. A primeira é evitar anacronismo: os gregos não “descobriram os números irracionais”; perceberam que certas grandezas não têm medida comum, o que é outra coisa (Roque; Pitombeira, 2012). A segunda é separar fonte de interpretação: os livros de geometria citados contam a história dos axiomas; a ponte axiomática → máquina de Turing → IA é uma síntese histórica desta página, marcada com o selo síntese sempre que aparece.

AVM 1 · Máquina do tempo

Linha do tempo da história da matemática com IA

Toque em um marco, ou use as setas do teclado, para ver o que aconteceu, qual matemática estava em jogo e o que ela tem a ver com a IA de hoje. Filtre por época.

séc. V a.E.C.

Os incomensuráveis

O que aconteceu: Os gregos percebem que o lado e a diagonal de um quadrado não admitem medida comum: nenhum segmento, por menor que seja, cabe um número inteiro de vezes nos dois.
A matemática em jogo: antifairese: subtrair repetidamente o menor do maior; com lado e diagonal, o processo nunca termina
Ponte com a IA: A intuição visual engana; só a demonstração decide. É a primeira lição de rigor da qual dependerá toda máquina que calcula. síntese
Fonte: Roque; Pitombeira (2012), cap. 2.

séc. V – c. 300 a.E.C.

Ato I · Grécia antiga

A invenção da demonstração

Muito antes de Euclides, babilônios e egípcios já calculavam áreas, volumes e raízes com grande habilidade. O que a matemática grega acrescentou foi uma exigência: não basta calcular, é preciso demonstrar. Por volta de 300 a.E.C., Euclides reuniu esse saber em Os Elementos, treze livros que partem de poucas definições, postulados e noções comuns e deduzem, passo a passo, centenas de proposições. A primeira definição já anuncia o estilo: “Ponto é o que não tem partes” (Roque; Pitombeira, 2012, p. 68).

Essa exigência tinha uma história. Os pitagóricos perceberam que o lado e a diagonal de um quadrado são incomensuráveis: não existe segmento, por menor que seja, que caiba um número inteiro de vezes nos dois. É tentador dizer que eles “descobriram os números irracionais”, mas isso seria anacronismo, porque os gregos não pensavam a diagonal como um número. Para Roque e Pitombeira (2012, p. 81), a consequência mais importante foi “um divórcio entre o universo das grandezas e o universo dos números”. A resposta veio com Eudoxo, cuja teoria das proporções, preservada no Livro V de Os Elementos, vale também para grandezas sem medida comum.

Guarde esta imagem: um pequeno conjunto de regras do qual tudo o mais deve decorrer, sem apelo à intuição. Ela atravessará 23 séculos até virar, literalmente, um programa de computador. síntese

1824 – 1868

Ato II · Século XIX

Uma, nenhuma ou infinitas paralelas

O quinto postulado de Euclides, na forma que se popularizou (por um ponto fora de uma reta passa uma única paralela a ela), sempre pareceu menos evidente que os outros. Durante mais de dois mil anos, de Proclo a Saccheri, Lambert e Legendre, matemáticos tentaram demonstrá-lo a partir dos demais. Todos falharam, e por uma boa razão.

No início do século XIX, três pessoas entenderam por quê. Em 1824, Gauss escreveu a F. A. Taurinus sobre uma geometria em que a soma dos ângulos de um triângulo é menor que 180°, estranha mas sem contradições, e preferiu não publicar. Lobachevsky publicou primeiro, em 1829, e János Bolyai chegou ao mesmo lugar de forma independente, num apêndice de 26 páginas, em 1831 (Greenberg, 1993, cap. 6). Na geometria hiperbólica, por um ponto passam pelo menos duas paralelas, não existem retângulos e há uma unidade absoluta de comprimento.

Em 1854, Riemann deu a chave geométrica: espaços com curvatura própria, positiva, nula ou negativa, ideia que Einstein usaria na relatividade geral. E, em 1868, Beltrami encerrou a questão ao exibir um modelo euclidiano da geometria hiperbólica: se ela contivesse uma contradição, a de Euclides também conteria. O quinto postulado é independente dos outros e não pode ser demonstrado a partir deles.

AVM 2 · Laboratório do 5º postulado

Curve o plano e conte as paralelas

Mova a curvatura K. Com K = 0 você está no plano de Euclides; com K negativo, no disco de Poincaré, um modelo da geometria de Lobachevsky e Bolyai; com K positivo, na esfera, onde não há paralelas. Arraste o ponto P, ou use o controle de distância, e observe o ângulo de paralelismo.

K = 0 · Euclides

Curvatura K 0

Distância de P à reta r 1,1

Área do triângulo 0,6

O que a matemática vê

Fórmulas usadas: ângulo de paralelismo de Lobachevsky, Π(d) = 2·arctan(e^−d√−K); e Gauss–Bonnet para triângulos geodésicos, α + β + γ = π + K·A. O disco de Poincaré é um modelo: as “retas” hiperbólicas aparecem como arcos que cortam a borda em ângulo reto. A esfera também é um modelo com licença: duas “retas” (círculos máximos) sempre se cortam em dois pontos; a geometria elíptica de Riemann identifica os pontos antípodas para restaurar o corte único.

A lição mudou a própria ideia de matemática. Axiomas deixam de ser verdades evidentes sobre o espaço e passam a ser pontos de partida escolhidos, que precisam ser consistentes e fecundos. Caiu também a tese de Kant de que o espaço euclidiano seria uma forma necessária do pensamento (Greenberg, 1993). O matemático passa a perguntar menos “isto é verdade?” e mais “isto decorre daquilo?”.

1899 – 1931

Ato III · Fundamentos

Hilbert, Gödel e o sonho do rigor total

Se existem várias geometrias consistentes, o que garante que cada uma delas não esconde uma contradição? Em 1899, nos Grundlagen der Geometrie, David Hilbert refez a geometria de Euclides com um rigor novo. Pontos, retas e planos passaram a ser termos indefinidos, “três sistemas distintos de coisas”, e tudo o que se pode dizer sobre eles decorre de cinco grupos de axiomas. Hilbert examinou a compatibilidade e a independência desses axiomas, num modo de trabalhar em que o significado dos objetos importa menos que as regras que os ligam (Hilbert, 1902).

No ano seguinte, em Paris, ele apresentou dez de uma lista de 23 problemas que guiariam a matemática do século XX (a lista completa saiu na versão publicada da conferência), e seu programa de fundamentos sonhava com sistemas formais completos e comprovadamente consistentes. Em 1931, Kurt Gödel mostrou o limite desse sonho: todo sistema formal consistente, cujos axiomas possam ser listados mecanicamente e que seja capaz de expressar a aritmética elementar, contém afirmações que ele não consegue provar nem refutar (Gödel, 1931).

Para chegar lá, Gödel transformou fórmulas e demonstrações em números: raciocinar virou calcular com códigos. Faltava responder a uma pergunta que Hilbert deixara no ar: o que é, exatamente, um procedimento mecânico? síntese

1936 – 1950

Ato IV · Computação

Turing: da regra à máquina

Nota de método. A partir daqui, a ligação entre os fundamentos da matemática e a IA é uma síntese histórica desta página: uma ponte entre ideias, não uma afirmação contida nas obras de geometria citadas. síntese

Em 1936, para enfrentar o Entscheidungsproblem, o problema da decisão formulado por Hilbert, Alan Turing descreveu uma máquina imaginária: uma fita dividida em casas, um cabeçote que lê e escreve um símbolo por vez e uma tabela finita de regras. Com ela, definiu o que é computar, mostrou que uma única máquina universal pode imitar qualquer outra e provou que certos problemas não têm solução mecânica (Turing, 1936).

A máquina universal contém a ideia do computador de programa armazenado. Catorze anos depois, Turing abriu o artigo Computing Machinery and Intelligence, na revista Mind (v. 59), com a frase “Proponho considerar a pergunta: ‘Podem as máquinas pensar?’” e, em vez de defini-la, a trocou por um teste operacional, o jogo da imitação (Turing, 1950, p. 433, tradução nossa).

Note o encadeamento: axioma, demonstração, sistema formal, algoritmo, computador. Nenhum desses elos estava “destinado” a levar ao seguinte; cada um foi a resposta a uma pergunta concreta do seu tempo.

Interlúdio · A espinha dorsal

Os quatro pilares matemáticos da IA

O livro-texto Mathematics for Machine Learning descreve o aprendizado de máquina como “a mais recente de uma longa linhagem de tentativas de destilar o conhecimento e o raciocínio humanos” (Deisenroth; Faisal; Ong, 2020, tradução nossa). Quatro áreas sustentam essa tentativa.

Álgebra linear

Palavras, imagens e sons viram vetores; camadas de uma rede são matrizes que transformam esses vetores.

W·x + b

Cálculo

Derivadas medem quanto o erro muda quando um peso muda; a regra da cadeia faz isso para milhões de pesos.

∂E/∂w

Probabilidade

Um modelo de linguagem não sabe a próxima palavra: atribui probabilidades a todas as candidatas.

P(palavra | contexto)

Otimização

Treinar é descer uma paisagem de erro, passo a passo, na direção oposta ao gradiente.

w ← w − η∇E

1986 – 2016

Ato V · Aprendizado de máquina

Aprender com o erro

Durante décadas, a IA tentou escrever à mão as regras da inteligência. A virada veio quando as máquinas passaram a aprender as regras a partir de exemplos, e a matemática necessária era antiga: o cálculo de Newton e Leibniz. Em 1986, Rumelhart, Hinton e Williams mostraram, na Nature, como uma rede com camadas ocultas aprende representações úteis retropropagando o erro: a regra da cadeia distribui a responsabilidade pelo erro entre os pesos, e a descida do gradiente corrige cada um deles um pouco de cada vez (Rumelhart; Hinton; Williams, 1986).

Os obstáculos seguintes também eram matemáticos. Em sequências longas, o sinal do erro tende a explodir ou a desaparecer; a LSTM (1997) criou células de memória com portas que mantêm esse fluxo estável (Hochreiter; Schmidhuber, 1997). O otimizador Adam (2015) adapta o passo de cada parâmetro com estimativas dos momentos do gradiente (Kingma; Ba, 2015). E a ResNet (2016) mostrou que é mais fácil aprender uma correção do que uma função inteira: cada bloco calcula F(x) + x, o que permitiu treinar redes com 152 camadas (He et al., 2016).

Em 2015, LeCun, Bengio e Hinton resumiram o campo na Nature: o aprendizado profundo permite que modelos com várias camadas “aprendam representações dos dados com múltiplos níveis de abstração” (LeCun; Bengio; Hinton, 2015, p. 436, tradução nossa).

2013

Ato VI · Linguagem

Quando o significado vira geometria

Para uma máquina, uma palavra é só um símbolo, até ganhar coordenadas. Em 2013, Tomas Mikolov e colegas mostraram como treinar, com eficiência, vetores de palavras a partir de bilhões de palavras de texto: palavras usadas em contextos parecidos ficam próximas, e certas relações de sentido viram direções no espaço. O exemplo célebre: o vetor de rei, menos homem, mais mulher, cai perto do vetor de rainha (Mikolov et al., 2013).

É aqui que o fio de ouro reaparece. O espaço em que as palavras vivem é um espaço vetorial, herdeiro da geometria que Euclides axiomatizou e que Riemann libertou para qualquer número de dimensões. Medir o quanto duas palavras são “parecidas” vira medir um ângulo: a similaridade de cosseno. síntese

AVM 3 · Aritmética de palavras

Some e subtraia significados

Monte a conta A − B + C. A seta dourada transporta a relação “de B para C” até A, e o ponto onde ela termina procura a palavra mais próxima. Depois arraste qualquer palavra (ou selecione-a e use as setas do teclado) e descubra quando a analogia deixa de funcionar.

rei − homem + mulher ≈ rainha

A (ponto de partida)

− B (o que retirar)

+ C (o que acrescentar)

O que a matemática vê

Um modelo real usa de 100 a 300 dimensões aprendidas a partir de texto; aqui são duas, desenhadas à mão para caber na tela. Como no artigo de Mikolov, as três palavras da conta ficam fora da busca pela resposta.

Repare no que a conta não diz: os vetores aprendem as regularidades do texto em que foram treinados, e também os seus vieses. Analogias como “homem está para programador assim como mulher está para dona de casa” apareceram em vetores reais e motivaram métodos para reduzir esse viés (Bolukbasi et al., 2016). Geometria não é neutralidade.

2017 – 2020

Ato VII · Transformers

Atenção e escala

Em 2017, um artigo de título ousado, Attention Is All You Need, propôs o Transformer, uma arquitetura que dispensa “inteiramente a recorrência e as convoluções” (Vaswani et al., 2017, tradução nossa). Cada palavra produz três vetores: uma consulta (Q), uma chave (K) e um valor (V). O produto Q·Kᵀ mede quanto cada palavra deve “olhar” para as outras; a divisão por √dₖ evita escores grandes demais, que empurrariam o softmax para regiões de gradiente minúsculo; e o softmax transforma os escores em pesos que somam 1.

AVM 4 · Para onde o modelo olha?

Atenção: o contexto decide o sentido

A palavra “banco” é ambígua. Escolha uma frase, toque em uma palavra para fazê-la de consulta e veja os pesos da atenção. Observe o sentido que “banco” assume em cada frase e mexa no fator de escala para ver o softmax ficar nítido ou difuso demais.

softmax(q·kⱼ / √dₖ)

Toque em uma palavra para usá-la como consulta (Q)

Pesos de atenção da consulta

Matriz completa: cada linha é uma consulta

Fator de escala λ 1 λ = 1 é o valor do artigo. Escores maiores deixam o softmax quase binário.

Sentido resultante da consulta

O que a matemática vê

Vetores de brinquedo com quatro dimensões nomeadas (natureza, dinheiro, lugar, gramática). Num Transformer real, Q, K e V vêm de matrizes aprendidas e têm centenas de dimensões sem nome; o mecanismo, porém, é exatamente este.

A atenção é álgebra linear em escala industrial: multiplicações de matrizes que as placas gráficas executam em paralelo. Em 2020, Kaplan e colegas mediram como o desempenho melhora com o tamanho: a perda cai como uma lei de potência do número de parâmetros, dos dados e da computação (Kaplan et al., 2020). Trabalhos posteriores revisaram o equilíbrio ideal entre tamanho do modelo e quantidade de dados (Hoffmann et al., 2022), mas a forma da lei permaneceu.

AVM 5 · Lei de escala

Uma reta escondida numa curva

Arraste o tamanho do modelo N. Na escala comum, a perda parece estabilizar; com os dois eixos em escala logarítmica, a lei de potência vira uma reta de inclinação −0,076.

L(N) = (8,8·10¹³ / N)^0,076

Parâmetros N (sem embeddings) 10⁹

O que a matemática vê

Equação 1.1 de Kaplan et al. (2020), com N꜀ ≈ 8,8·10¹³ e αN ≈ 0,076, ajustada a modelos de até cerca de 1,5 bilhão de parâmetros; acima disso, o gráfico é extrapolação. A perda é medida em nats por token.

Repare no arco: os vetores do Word2Vec e as matrizes da atenção são a mesma álgebra linear que descreve espaços; a descida do gradiente é o cálculo do século XVII; as leis de escala são estatística experimental. A história da matemática com IA não é uma coleção de episódios soltos. É uma linha contínua, feita também de rupturas. síntese

hoje

Epílogo · Andaime, não prótese

Aprender a história da matemática com IA, com juízo crítico

Tanta potência pede critério. O neurocientista Michel Desmurget reúne estudos que associam o consumo recreativo e excessivo de telas por crianças e adolescentes a prejuízos de linguagem, atenção, sono e desempenho escolar. Mas ele próprio insiste que o problema é a dose e o tipo de uso: “Em dose modesta, as telas não são nocivas”, desde que os conteúdos sejam adaptados e o sono, preservado (Desmurget, 2021).

Desmurget escreveu antes da popularização dos chatbots; estender seu argumento à IA é uma leitura nossa. Ela sugere uma distinção prática: pedir a resposta pronta é consumo; usar a IA para formular hipóteses, conferir cálculos e discutir objeções é investigação. síntese

É também o que propõe a educação matemática crítica. Em Landscapes of Investigation (Penteado; Skovsmose, 2022), sair do “paradigma do exercício” significa criar cenários em que estudantes investigam, dialogam e questionam, inclusive a própria tecnologia, que não é neutra nem infalível. No capítulo 6 dessa obra, a autora desta página, Lessandra Marcelly Sousa da Silva, e colegas discutem aspectos de democracia nas aulas de matemática: diálogo, equidade, inclusão e crítica (Milani et al., 2022). E sua tese sobre o ensino de matemática a estudantes cegos (Marcelly, 2015) explica uma escolha visível aqui: esta página foi desenhada para ser ouvida, ampliada e lida em alto contraste, porque um cenário de investigação só é democrático se todos puderem entrar nele.

A IA é um andaime do pensamento, não uma prótese que o substitui. Ela amplia quando provoca diálogo, verificação e crítica; empobrece quando entrega respostas que dispensam o esforço de pensar.

Três perguntas antes de estudar com IA

Eu tentei primeiro? Escreva a sua hipótese, mesmo errada, antes de perguntar.
Como eu confiro? Peça a fonte, refaça a conta, procure um contraexemplo.
O que eu explico agora, sem a tela? Se nada, a IA foi prótese. Se algo, foi andaime.

Converse com quem conta esta história

Lambda, a AVAMI de História da Matemática

Para continuar a história da matemática com IA em diálogo, converse com a Lambda, uma agente de IA gratuita criada para conversar sobre a história da matemática. Ela conta o contexto por trás de um teorema, percorre os séculos com você e devolve perguntas, em vez de só respostas: andaime, não prótese. É uma das seis AVAMIs tutoras do site, ao lado de Sigma, Beta, Kapa, Mi e Eta.

Perguntas para levar à Lambda

Por que os gregos desconfiavam do 5º postulado?
Como Eudoxo resolveu o problema dos incomensuráveis?
O que a máquina de Turing tem a ver com Hilbert?

Conversar com a Lambda Conhecer a Lambda Ver as 6 AVAMIs

Perguntas frequentes

Dúvidas sobre a história da matemática com IA

O que é a história da matemática com IA?

A história da matemática com IA é uma leitura da história da matemática que acompanha as ideias que tornaram a inteligência artificial possível: o método axiomático, as geometrias não euclidianas, a formalização de Hilbert, a computabilidade de Turing, o cálculo do aprendizado e a álgebra linear dos Transformers. Aqui ela é contada em sete atos, com 20 marcos e cinco artefatos interativos.

A inteligência artificial nasceu da geometria de Euclides?

Não diretamente. A ligação é uma síntese histórica: o método axiomático inspirou a busca por sistemas formais rigorosos (Hilbert), cujos limites (Gödel) e cuja mecanização (Turing) deram origem à teoria da computação, sobre a qual a IA foi construída. Os livros de história da geometria não fazem essa ponte; ela é uma interpretação.

Qual matemática está por trás dos grandes modelos de linguagem?

Principalmente álgebra linear (vetores e matrizes, como na atenção softmax(QKᵀ/√dₖ)V), cálculo (a regra da cadeia na retropropagação), probabilidade (atribuir chances à próxima palavra) e otimização (descida do gradiente e métodos como o Adam).

Como usar a IA para aprender matemática sem terceirizar o pensamento?

Use-a como andaime: tente antes, peça explicações e contraexemplos, confira as contas e termine explicando a ideia com as suas palavras. Para conversar sobre história da matemática, a Lambda foi criada exatamente para isso.

Continue explorando

Mais matemática por trás da IA

Artigo · guiaA Matemática por Trás da Inteligência ArtificialÁlgebra linear, probabilidade e cálculo, com laboratórios interativos. Artigo · TransformersAttention Is All You NeedO mecanismo de atenção que fundou a IA generativa, passo a passo. ArtigoO Coração Matemático da IA GenerativaVetores, matrizes e atenção sem mistério, por quem ensina matemática. Laboratórios · AVM™Matemática InovadoraArtefatos Virtuais Manipuláveis de funções, progressões, probabilidade e trigonometria.

Referências

História e fundamentos

EUCLIDES. Os Elementos. Tradução e introdução de Irineu Bicudo. São Paulo: Editora Unesp, 2009.
GÖDEL, K. Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I. Monatshefte für Mathematik und Physik, v. 38, p. 173–198, 1931. DOI.
GREENBERG, M. J. Euclidean and Non-Euclidean Geometries: Development and History. 3. ed. New York: W. H. Freeman, 1993.
HILBERT, D. The Foundations of Geometry. Tradução de E. J. Townsend. Chicago: Open Court, 1902. Original: Grundlagen der Geometrie, 1899.
ROQUE, T.; PITOMBEIRA, J. B. Tópicos de História da Matemática. Rio de Janeiro: SBM, 2012. (Coleção PROFMAT). Páginas citadas conforme a versão digital do texto (curso PMA5631).
TURING, A. M. On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem. Proceedings of the London Mathematical Society, s. 2, v. 42, p. 230–265, 1936. DOI.
TURING, A. M. Computing Machinery and Intelligence. Mind, v. 59, n. 236, p. 433–460, 1950. DOI.

Inteligência artificial

BOLUKBASI, T. et al. Man is to Computer Programmer as Woman is to Homemaker? Debiasing Word Embeddings. In: Advances in Neural Information Processing Systems 29 (NIPS), 2016.
DEISENROTH, M. P.; FAISAL, A. A.; ONG, C. S. Mathematics for Machine Learning. Cambridge: Cambridge University Press, 2020.
GOODFELLOW, I.; BENGIO, Y.; COURVILLE, A. Deep Learning. Cambridge, MA: MIT Press, 2016.
HE, K. et al. Deep Residual Learning for Image Recognition. In: IEEE Conference on Computer Vision and Pattern Recognition (CVPR), p. 770–778, 2016.
HOCHREITER, S.; SCHMIDHUBER, J. Long Short-Term Memory. Neural Computation, v. 9, n. 8, p. 1735–1780, 1997. DOI.
HOFFMANN, J. et al. Training Compute-Optimal Large Language Models. In: Advances in Neural Information Processing Systems 35 (NeurIPS), 2022.
KAPLAN, J. et al. Scaling Laws for Neural Language Models. arXiv:2001.08361, 2020.
KINGMA, D. P.; BA, J. Adam: A Method for Stochastic Optimization. In: International Conference on Learning Representations (ICLR), 2015.
LECUN, Y.; BENGIO, Y.; HINTON, G. Deep learning. Nature, v. 521, p. 436–444, 2015. DOI.
MIKOLOV, T. et al. Efficient Estimation of Word Representations in Vector Space. In: ICLR Workshop, 2013.
RUMELHART, D. E.; HINTON, G. E.; WILLIAMS, R. J. Learning representations by back-propagating errors. Nature, v. 323, p. 533–536, 1986. DOI.
VASWANI, A. et al. Attention Is All You Need. In: Advances in Neural Information Processing Systems 30 (NIPS), p. 5998–6008, 2017.

Educação e visão crítica

DESMURGET, M. A fábrica de cretinos digitais: os perigos das telas para nossas crianças. Belo Horizonte: Vestígio, 2021. Original: La fabrique du crétin digital, 2019.
MARCELLY, L. Do improviso às possibilidades de ensino: um estudo de caso de uma professora de matemática com estudantes cegos. Tese (Doutorado em Educação Matemática), Universidade Estadual Paulista (Unesp), Rio Claro, 2015.
MILANI, R.; FAUSTINO, A. C.; SILVA, L. M. S. da; SOUZA-CARNEIRO, D. V. de; CORTÉS, J.; BRITTO, R. R. de. Aspects of Democracy in Different Contexts of Mathematics Classes. In: PENTEADO, M. G.; SKOVSMOSE, O. (eds.). Landscapes of Investigation. Cambridge: Open Book Publishers, 2022, p. 95–113. DOI.
PENTEADO, M. G.; SKOVSMOSE, O. (eds.). Landscapes of Investigation: Contributions to Critical Mathematics Education. Cambridge: Open Book Publishers, 2022.

Do Pí à IA · Profª Dra. Lessandra Marcelly · Matemática · História · IA

Os incomensuráveis

Eudoxo e a teoria das proporções

Euclides e Os Elementos

Gauss e a geometria que não publicou

Lobachevsky, “o grande emancipador”

János Bolyai e as 26 páginas

Riemann e a curvatura

Beltrami encerra a questão

Hilbert e os Grundlagen der Geometrie

Gödel e a incompletude

A máquina de Turing

“Podem as máquinas pensar?”

Retropropagação do erro

LSTM: memória de longo prazo

Word2Vec: palavras viram vetores

Deep learning na Nature

Adam, o otimizador adaptativo

ResNet: aprender a diferença

Transformers: atenção é tudo?

Leis de escala

Uma, nenhuma ou infinitas paralelas

Curve o plano e conte as paralelas

Álgebra linear

Cálculo

Probabilidade

Otimização

Quando o significado vira geometria

Some e subtraia significados

Atenção e escala

Atenção: o contexto decide o sentido

Uma reta escondida numa curva

Lambda, a AVAMI de História da Matemática