A Matemática por Trás da Inteligência Artificial
Um guia abrangente
Álgebra linear, cálculo, probabilidade, otimização, grafos, lógica: um mapa de onde cada parte da matemática aparece na IA, com exemplos e referências. No laboratório, você vê uma máquina aprender com o gradiente descendente.
IntroduçãoA matemática como alicerce
A inteligência artificial é uma das áreas mais transformadoras da tecnologia moderna. Por trás de cada avanço impressionante, porém, há um alicerce comum: a matemática. Este guia percorre essa relação, mostrando como conceitos matemáticos moldam e impulsionam os sistemas inteligentes, da álgebra linear à probabilidade. Para um panorama completo, um bom ponto de partida é o livro Deep Learning (Goodfellow; Bengio; Courville, 2016).
Parte 1Uma breve história
- 1936Turing formaliza o que é computável, com a máquina que leva o seu nome.
- 1950Turing pergunta “as máquinas podem pensar?” e propõe o jogo da imitação, hoje chamado Teste de Turing.
- 1956A conferência de Dartmouth dá nome à área: “inteligência artificial”.
- 1960–80Sistemas especialistas raciocinam com regras de lógica matemática.
- 1986A retropropagação, baseada na regra da cadeia do cálculo, faz as redes neurais renascerem.
- 2012–hojeO aprendizado profundo explode, apoiado em álgebra linear em larga escala, otimização e estatística; em 2017 surge o Transformer.
Turing (1936; 1950); Rumelhart, Hinton e Williams (1986); Vaswani et al. (2017).
Parte 2Por que a matemática é essencial
Dá a linguagem para descrever problemas
Não dá para dizer a um computador “procure dois olhos, um nariz e uma boca”. Uma imagem vira uma grade de números, cada um com o brilho de um ponto; as redes neurais trabalham com essas matrizes.
Oferece ferramentas de otimização
Como achar o caminho mais curto entre duas cidades, a IA precisa achar os melhores parâmetros. O gradiente descendente ajusta esses parâmetros pouco a pouco, e é assim que uma rede “aprende”.
Permite prever e decidir
A probabilidade estima a chance de chover amanhã a partir dos dados de hoje; os modelos de aprendizado usam dados históricos para prever, diagnosticar e recomendar.
Ajuda a validar e interpretar
Numa pesquisa de opinião, a estatística diz quão confiável é o resultado conforme o tamanho da amostra. Na IA, ela mede o desempenho dos modelos e a confiança nas previsões, o que é crucial em carros autônomos e diagnósticos médicos.
A matemática não é só um conjunto de fórmulas: na IA, é a linguagem que permite às máquinas representar, aprender e decidir, da representação dos dados à avaliação dos resultados.
Parte 3Os três fundamentos
Álgebra linear
Vetores e matrizes
Aplicação: representar dados em espaços com muitas dimensões.
Exemplo: em linguagem natural, cada palavra vira um vetor; palavras de sentido parecido ficam próximas (Mikolov et al., 2013).
Operações com matrizes
Aplicação: os cálculos dentro de uma rede neural.
Exemplo: a multiplicação de matrizes leva a informação de uma camada para a seguinte.
Decomposição de matrizes
Aplicação: reduzir dimensões e extrair características.
Exemplo: a decomposição em valores singulares (SVD) aparece em sistemas de recomendação e compressão de imagens.
Cálculo
Derivadas e gradientes
Aplicação: otimizar modelos de aprendizado.
Exemplo: a retropropagação usa a regra da cadeia para calcular o gradiente e ajustar os pesos (Rumelhart; Hinton; Williams, 1986).
Cálculo de várias variáveis
Aplicação: analisar funções de custo com milhões de variáveis.
Exemplo: treinar uma rede profunda é descer, passo a passo, uma superfície de erro em altíssima dimensão.
Equações diferenciais
Aplicação: modelar sistemas que mudam com o tempo.
Exemplo: as Neural ODEs tratam as camadas de uma rede como os passos de uma equação diferencial (Chen et al., 2018).
Probabilidade e estatística
Distribuições de probabilidade
Aplicação: modelar a incerteza.
Exemplo: a distribuição normal (gaussiana) é usada para modelar o ruído nas medidas de sensores.
Inferência estatística
Aplicação: decidir com base em dados.
Exemplo: testes de hipóteses verificam se uma característica realmente ajuda a prever.
Processos estocásticos
Aplicação: modelar sequências no tempo.
Exemplo: cadeias de Markov estão na base dos modelos n-gram de linguagem e de sistemas clássicos de reconhecimento de fala.
Parte 4Áreas específicas da matemática na IA
Teoria dos grafos
Aplicação: representar relações complexas.
Exemplo: redes neurais de grafos analisam a estrutura de moléculas na descoberta de medicamentos.
Gradiente descendente
Aplicação: treinar modelos de aprendizado.
Exemplo: o algoritmo Adam adapta o passo de cada parâmetro usando médias dos gradientes e dos seus quadrados (Kingma; Ba, 2015).
Programação matemática
Aplicação: otimizar com restrições.
Exemplo: as máquinas de vetores de suporte (SVM) resolvem um problema de programação quadrática para achar o hiperplano de maior margem (Cortes; Vapnik, 1995).
Lógica fuzzy
Aplicação: raciocinar com graus de verdade, e não só com “sim” e “não” (Zadeh, 1965).
Exemplo: o metrô de Sendai, no Japão, usa controle fuzzy desde 1987 para acelerar e frear com suavidade.
Conjuntos aproximados
Aplicação: analisar dados imprecisos ou incompletos (Pawlak, 1982).
Exemplo: classificar imagens médicas quando parte da informação falta ou tem ruído.
Análise numérica
Aplicação: calcular com eficiência e precisão.
Exemplo: métodos de Krylov, como o gradiente conjugado, resolvem sistemas lineares enormes, inclusive em otimização de segunda ordem de redes.
Parte 5Algoritmos e técnicas
Funções de ativação
Aplicação: dar não linearidade às redes.
Exemplo: a ReLU, f(x) = max(0, x), é a mais usada.
Transformers
Aplicação: modelar sequências longas, como textos.
Exemplo: a atenção com várias cabeças compara todas as palavras entre si (Vaswani et al., 2017).
Regressão e classificação
Aplicação: prever valores e separar categorias.
Exemplo: a regressão logística classifica transações como fraude ou não fraude.
Árvores e florestas aleatórias
Aplicação: modelar decisões complexas.
Exemplo: uma floresta aleatória combina o voto de muitas árvores de decisão (Breiman, 2001).
Modelos de linguagem e embeddings
Aplicação: representar e prever texto.
Exemplo: modelos n-gram preveem a próxima palavra; Word2Vec e GloVe capturam relações de sentido em vetores (Mikolov et al., 2013; Pennington; Socher; Manning, 2014).
Visão computacional
Aplicação: reconhecer e classificar imagens.
Exemplo: a transformada de Fourier analisa as frequências de uma imagem; redes convolucionais como ResNet e Inception reconhecem objetos (He et al., 2016; Szegedy et al., 2015).
Parte 6Desafios matemáticos
A maldição da dimensionalidade
O desafio: em espaços com muitas dimensões, os dados ficam esparsos e as distâncias perdem o sentido.
Como se enfrenta: reduzir dimensões com PCA ou visualizar com t-SNE.
Sobreajuste e subajuste
O desafio: equilibrar a complexidade do modelo e a capacidade de generalizar.
Como se enfrenta: regularização, validação cruzada e parada antecipada (early stopping).
Interpretabilidade
O desafio: entender como um modelo “caixa-preta” decide.
Como se enfrenta: explicações locais com LIME e valores de Shapley com SHAP (Ribeiro; Singh; Guestrin, 2016; Lundberg; Lee, 2017).
Parte 7O futuro da matemática na IA
- IA quântica: algoritmos quânticos para problemas de otimização.
- Computação neuromórfica: hardware inspirado no cérebro, que gasta menos energia.
- Aprendizado federado: treinar com dados que ficam nos aparelhos das pessoas, protegendo a privacidade (McMahan et al., 2017).
- IA explicável: modelos cujas decisões podem ser justificadas matematicamente.
ConclusãoO alicerce e a fronteira
A matemática é o alicerce sobre o qual a inteligência artificial é construída. Da álgebra linear e do cálculo às técnicas de otimização e à probabilidade, ela atravessa todos os aspectos da IA, e sua importância só cresce. A beleza dessa relação está não apenas em aplicar a matemática que já existe, mas em ver os desafios da IA impulsionarem novas descobertas matemáticas.
Este guia apenas arranha a superfície, e cada tópico merece ser aprofundado. Para quem quer seguir, o estudo contínuo da matemática, junto com a prática em programação e ciência de dados, abre portas na fronteira da tecnologia. E, num futuro cada vez mais moldado pela IA, compreender a matemática por trás dela não é só exercício acadêmico: é o que nos permite entender seus limites, enfrentar suas questões éticas e garantir que ela seja desenvolvida de forma responsável e benéfica para toda a sociedade.
IntroductionMathematics as the foundation
Artificial intelligence is one of the most transformative fields of modern technology. Behind every impressive advance, however, lies a common foundation: mathematics. This guide walks through that relationship, showing how mathematical concepts shape and drive intelligent systems, from linear algebra to probability. For a complete overview, a good starting point is the book Deep Learning (Goodfellow; Bengio; Courville, 2016).
Part 1A brief history
- 1936Turing formalises what is computable, with the machine that bears his name.
- 1950Turing asks “can machines think?” and proposes the imitation game, now called the Turing Test.
- 1956The Dartmouth conference names the field: “artificial intelligence”.
- 1960–80Expert systems reason with rules of mathematical logic.
- 1986Backpropagation, based on the chain rule of calculus, revives neural networks.
- 2012–hojeDeep learning explodes, built on large-scale linear algebra, optimisation and statistics; the Transformer arrives in 2017.
Turing (1936; 1950); Rumelhart, Hinton and Williams (1986); Vaswani et al. (2017).
Part 2Why mathematics is essential
It provides the language to describe problems
You cannot tell a computer “look for two eyes, a nose and a mouth”. An image becomes a grid of numbers, each holding the brightness of a point; neural networks work with these matrices.
It offers optimisation tools
Like finding the shortest route between two cities, AI must find the best parameters. Gradient descent adjusts them little by little, and that is how a network “learns”.
It makes prediction and decisions possible
Probability estimates the chance of rain tomorrow from today’s data; learning models use historical data to forecast, diagnose and recommend.
It helps validate and interpret
In an opinion poll, statistics tells how reliable the result is depending on the sample size. In AI, it measures model performance and confidence in predictions, which is crucial in self-driving cars and medical diagnosis.
Mathematics is not just a set of formulas: in AI, it is the language that lets machines represent, learn and decide, from data representation to the evaluation of results.
Part 3The three foundations
Linear algebra
Vectors and matrices
Application: representing data in high-dimensional spaces.
Example: in natural language, each word becomes a vector; words with similar meanings end up close together (Mikolov et al., 2013).
Matrix operations
Application: the calculations inside a neural network.
Example: matrix multiplication carries information from one layer to the next.
Matrix decomposition
Application: reducing dimensions and extracting features.
Example: singular value decomposition (SVD) is used in recommender systems and image compression.
Calculus
Derivatives and gradients
Application: optimising learning models.
Example: backpropagation uses the chain rule to compute the gradient and adjust the weights (Rumelhart; Hinton; Williams, 1986).
Multivariable calculus
Application: analysing cost functions with millions of variables.
Example: training a deep network means descending, step by step, an error surface in very high dimension.
Differential equations
Application: modelling systems that change over time.
Example: Neural ODEs treat a network’s layers as the steps of a differential equation (Chen et al., 2018).
Probability and statistics
Probability distributions
Application: modelling uncertainty.
Example: the normal (Gaussian) distribution is used to model noise in sensor measurements.
Statistical inference
Application: making data-based decisions.
Example: hypothesis tests check whether a feature really helps prediction.
Stochastic processes
Application: modelling sequences over time.
Example: Markov chains underlie n-gram language models and classic speech recognition systems.
Part 4Specific areas of mathematics in AI
Graph theory
Application: representing complex relationships.
Example: graph neural networks analyse molecular structures in drug discovery.
Gradient descent
Application: training learning models.
Example: the Adam algorithm adapts each parameter’s step using averages of the gradients and of their squares (Kingma; Ba, 2015).
Mathematical programming
Application: optimising under constraints.
Example: support vector machines (SVM) solve a quadratic programming problem to find the maximum-margin hyperplane (Cortes; Vapnik, 1995).
Fuzzy logic
Application: reasoning with degrees of truth, not just “yes” and “no” (Zadeh, 1965).
Example: the Sendai subway in Japan has used fuzzy control since 1987 to accelerate and brake smoothly.
Rough sets
Application: analysing imprecise or incomplete data (Pawlak, 1982).
Example: classifying medical images when part of the information is missing or noisy.
Numerical analysis
Application: computing efficiently and accurately.
Example: Krylov methods, such as conjugate gradient, solve huge linear systems, including in second-order optimisation of networks.
Part 5Algorithms and techniques
Activation functions
Application: giving networks non-linearity.
Example: ReLU, f(x) = max(0, x), is the most widely used.
Transformers
Application: modelling long sequences, such as texts.
Example: multi-head attention compares every word with every other (Vaswani et al., 2017).
Regression and classification
Application: predicting values and separating categories.
Example: logistic regression classifies transactions as fraud or not fraud.
Trees and random forests
Application: modelling complex decisions.
Example: a random forest combines the votes of many decision trees (Breiman, 2001).
Language models and embeddings
Application: representing and predicting text.
Example: n-gram models predict the next word; Word2Vec and GloVe capture meaning relations in vectors (Mikolov et al., 2013; Pennington; Socher; Manning, 2014).
Computer vision
Application: recognising and classifying images.
Example: the Fourier transform analyses an image’s frequencies; convolutional networks such as ResNet and Inception recognise objects (He et al., 2016; Szegedy et al., 2015).
Part 6Mathematical challenges
The curse of dimensionality
The challenge: in high-dimensional spaces, data become sparse and distances lose meaning.
How it is tackled: reduce dimensions with PCA or visualise with t-SNE.
Overfitting and underfitting
The challenge: balancing model complexity and the ability to generalise.
How it is tackled: regularisation, cross-validation and early stopping.
Interpretability
The challenge: understanding how a “black box” model decides.
How it is tackled: local explanations with LIME and Shapley values with SHAP (Ribeiro; Singh; Guestrin, 2016; Lundberg; Lee, 2017).
Part 7The future of mathematics in AI
- Quantum AI: quantum algorithms for optimisation problems.
- Neuromorphic computing: brain-inspired hardware that uses less energy.
- Federated learning: training with data that stays on people’s devices, protecting privacy (McMahan et al., 2017).
- Explainable AI: models whose decisions can be justified mathematically.
ConclusionThe foundation and the frontier
Mathematics is the foundation on which artificial intelligence is built. From linear algebra and calculus to optimisation techniques and probability, it runs through every aspect of AI, and its importance only grows. The beauty of this relationship lies not only in applying existing mathematics, but in seeing AI’s challenges drive new mathematical discoveries.
This guide only scratches the surface, and each topic deserves to be explored further. For those who want to go on, continued study of mathematics, together with practice in programming and data science, opens doors at the frontier of technology. And in a future increasingly shaped by AI, understanding the mathematics behind it is not just an academic exercise: it is what lets us understand its limits, face its ethical questions and make sure it is developed responsibly and for the benefit of society as a whole.
IntroducciónLa matemática como cimiento
La inteligencia artificial es una de las áreas más transformadoras de la tecnología moderna. Detrás de cada avance impresionante, sin embargo, hay un cimiento común: la matemática. Esta guía recorre esa relación y muestra cómo los conceptos matemáticos moldean e impulsan los sistemas inteligentes, del álgebra lineal a la probabilidad. Para un panorama completo, un buen punto de partida es el libro Deep Learning (Goodfellow; Bengio; Courville, 2016).
Parte 1Una breve historia
- 1936Turing formaliza qué es computable, con la máquina que lleva su nombre.
- 1950Turing pregunta “¿pueden pensar las máquinas?” y propone el juego de imitación, hoy llamado Test de Turing.
- 1956La conferencia de Dartmouth da nombre al área: “inteligencia artificial”.
- 1960–80Los sistemas expertos razonan con reglas de lógica matemática.
- 1986La retropropagación, basada en la regla de la cadena del cálculo, hace renacer las redes neuronales.
- 2012–hojeEl aprendizaje profundo explota, apoyado en álgebra lineal a gran escala, optimización y estadística; en 2017 surge el Transformer.
Turing (1936; 1950); Rumelhart, Hinton y Williams (1986); Vaswani et al. (2017).
Parte 2Por qué la matemática es esencial
Da el lenguaje para describir problemas
No se le puede decir a una computadora “busca dos ojos, una nariz y una boca”. Una imagen se convierte en una cuadrícula de números, cada uno con el brillo de un punto; las redes neuronales trabajan con esas matrices.
Ofrece herramientas de optimización
Como encontrar el camino más corto entre dos ciudades, la IA debe hallar los mejores parámetros. El descenso de gradiente los ajusta poco a poco, y así “aprende” una red.
Permite predecir y decidir
La probabilidad estima la posibilidad de lluvia mañana a partir de los datos de hoy; los modelos de aprendizaje usan datos históricos para predecir, diagnosticar y recomendar.
Ayuda a validar e interpretar
En una encuesta, la estadística dice cuán confiable es el resultado según el tamaño de la muestra. En la IA, mide el desempeño de los modelos y la confianza en las predicciones, algo crucial en coches autónomos y diagnósticos médicos.
La matemática no es solo un conjunto de fórmulas: en la IA, es el lenguaje que permite a las máquinas representar, aprender y decidir, de la representación de los datos a la evaluación de los resultados.
Parte 3Los tres fundamentos
Álgebra lineal
Vectores y matrices
Aplicación: representar datos en espacios de muchas dimensiones.
Ejemplo: en lenguaje natural, cada palabra se convierte en un vector; las palabras de sentido parecido quedan cerca (Mikolov et al., 2013).
Operaciones con matrices
Aplicación: los cálculos dentro de una red neuronal.
Ejemplo: la multiplicación de matrices lleva la información de una capa a la siguiente.
Descomposición de matrices
Aplicación: reducir dimensiones y extraer características.
Ejemplo: la descomposición en valores singulares (SVD) aparece en sistemas de recomendación y compresión de imágenes.
Cálculo
Derivadas y gradientes
Aplicación: optimizar modelos de aprendizaje.
Ejemplo: la retropropagación usa la regla de la cadena para calcular el gradiente y ajustar los pesos (Rumelhart; Hinton; Williams, 1986).
Cálculo de varias variables
Aplicación: analizar funciones de costo con millones de variables.
Ejemplo: entrenar una red profunda es descender, paso a paso, una superficie de error de altísima dimensión.
Ecuaciones diferenciales
Aplicación: modelar sistemas que cambian con el tiempo.
Ejemplo: las Neural ODEs tratan las capas de una red como los pasos de una ecuación diferencial (Chen et al., 2018).
Probabilidad y estadística
Distribuciones de probabilidad
Aplicación: modelar la incertidumbre.
Ejemplo: la distribución normal (gaussiana) se usa para modelar el ruido en las mediciones de sensores.
Inferencia estadística
Aplicación: decidir a partir de datos.
Ejemplo: las pruebas de hipótesis verifican si una característica realmente ayuda a predecir.
Procesos estocásticos
Aplicación: modelar secuencias en el tiempo.
Ejemplo: las cadenas de Markov están en la base de los modelos n-gram de lenguaje y de sistemas clásicos de reconocimiento de voz.
Parte 4Áreas específicas de la matemática en la IA
Teoría de grafos
Aplicación: representar relaciones complejas.
Ejemplo: las redes neuronales de grafos analizan la estructura de moléculas en el descubrimiento de fármacos.
Descenso de gradiente
Aplicación: entrenar modelos de aprendizaje.
Ejemplo: el algoritmo Adam adapta el paso de cada parámetro usando promedios de los gradientes y de sus cuadrados (Kingma; Ba, 2015).
Programación matemática
Aplicación: optimizar con restricciones.
Ejemplo: las máquinas de vectores de soporte (SVM) resuelven un problema de programación cuadrática para hallar el hiperplano de mayor margen (Cortes; Vapnik, 1995).
Lógica difusa
Aplicación: razonar con grados de verdad, y no solo con “sí” y “no” (Zadeh, 1965).
Ejemplo: el metro de Sendai, en Japón, usa control difuso desde 1987 para acelerar y frenar con suavidad.
Conjuntos aproximados
Aplicación: analizar datos imprecisos o incompletos (Pawlak, 1982).
Ejemplo: clasificar imágenes médicas cuando falta parte de la información o tiene ruido.
Análisis numérico
Aplicación: calcular con eficiencia y precisión.
Ejemplo: los métodos de Krylov, como el gradiente conjugado, resuelven sistemas lineales enormes, incluso en optimización de segundo orden de redes.
Parte 5Algoritmos y técnicas
Funciones de activación
Aplicación: dar no linealidad a las redes.
Ejemplo: la ReLU, f(x) = max(0, x), es la más usada.
Transformers
Aplicación: modelar secuencias largas, como textos.
Ejemplo: la atención con varias cabezas compara todas las palabras entre sí (Vaswani et al., 2017).
Regresión y clasificación
Aplicación: predecir valores y separar categorías.
Ejemplo: la regresión logística clasifica transacciones como fraude o no fraude.
Árboles y bosques aleatorios
Aplicación: modelar decisiones complejas.
Ejemplo: un bosque aleatorio combina el voto de muchos árboles de decisión (Breiman, 2001).
Modelos de lenguaje y embeddings
Aplicación: representar y predecir texto.
Ejemplo: los modelos n-gram predicen la próxima palabra; Word2Vec y GloVe capturan relaciones de sentido en vectores (Mikolov et al., 2013; Pennington; Socher; Manning, 2014).
Visión por computadora
Aplicación: reconocer y clasificar imágenes.
Ejemplo: la transformada de Fourier analiza las frecuencias de una imagen; redes convolucionales como ResNet e Inception reconocen objetos (He et al., 2016; Szegedy et al., 2015).
Parte 6Desafíos matemáticos
La maldición de la dimensionalidad
El desafío: en espacios con muchas dimensiones, los datos quedan dispersos y las distancias pierden sentido.
Cómo se enfrenta: reducir dimensiones con PCA o visualizar con t-SNE.
Sobreajuste y subajuste
El desafío: equilibrar la complejidad del modelo y la capacidad de generalizar.
Cómo se enfrenta: regularización, validación cruzada y parada temprana (early stopping).
Interpretabilidad
El desafío: entender cómo decide un modelo “caja negra”.
Cómo se enfrenta: explicaciones locales con LIME y valores de Shapley con SHAP (Ribeiro; Singh; Guestrin, 2016; Lundberg; Lee, 2017).
Parte 7El futuro de la matemática en la IA
- IA cuántica: algoritmos cuánticos para problemas de optimización.
- Computación neuromórfica: hardware inspirado en el cerebro, que gasta menos energía.
- Aprendizaje federado: entrenar con datos que se quedan en los dispositivos de las personas, protegiendo la privacidad (McMahan et al., 2017).
- IA explicable: modelos cuyas decisiones pueden justificarse matemáticamente.
ConclusiónEl cimiento y la frontera
La matemática es el cimiento sobre el que se construye la inteligencia artificial. Del álgebra lineal y el cálculo a las técnicas de optimización y la probabilidad, atraviesa todos los aspectos de la IA, y su importancia no deja de crecer. La belleza de esta relación está no solo en aplicar la matemática que ya existe, sino en ver cómo los desafíos de la IA impulsan nuevos descubrimientos matemáticos.
Esta guía apenas rasca la superficie, y cada tema merece profundizarse. Para quien quiera seguir, el estudio continuo de la matemática, junto con la práctica en programación y ciencia de datos, abre puertas en la frontera de la tecnología. Y, en un futuro cada vez más moldeado por la IA, comprender la matemática que la sustenta no es solo un ejercicio académico: es lo que nos permite entender sus límites, afrontar sus cuestiones éticas y garantizar que se desarrolle de forma responsable y beneficiosa para toda la sociedad.
Laboratório: como uma máquina aprende
Dez estudantes, horas de estudo e notas. A máquina começa com uma reta qualquer e, a cada passo do gradiente descendente, mede o erro, calcula as derivadas e corrige a reta. É a mesma ideia que treina as redes neurais, com bilhões de parâmetros em vez de dois.
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- ZADEH, Lotfi A. Fuzzy sets. Information and Control, v. 8, n. 3, p. 338–353, 1965.
Cada fórmula, uma conversa
As AVAMIs explicam cada conceito deste guia pela história e passo a passo. Comece pela Sigma, a porta de entrada para toda a matemática.
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