Uma progressão aritmética (P.A.) é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é o anterior somado a uma constante r, a razão. São os degraus iguais de uma escada, as fileiras de um teatro, os juros simples, os palitos de um padrão que cresce sempre do mesmo jeito. Nesta página você monta a P.A., descobre suas propriedades e chega, com as próprias mãos, à soma que o jovem Gauss fez de cabeça.
E se, em vez de somar, a gente multiplicasse sempre pelo mesmo número? Progressão geométrica →Escolha o primeiro termo a₁, a razão r e quantos termos quer ver. Cada seta “+r” é um degrau. Troque para pontos e reta e descubra que toda P.A. mora em cima de uma reta: ela é uma função afim.
(3, 5, 7, …)
Toque num termo: ele é sempre a média aritmética dos seus vizinhos. Depois ligue os pares equidistantes dos extremos e repare que todas as somas dão o mesmo valor. É essa a chave da fórmula da soma.
Interpolar m meios aritméticos entre a e b é encaixar m números entre eles de modo que tudo vire uma P.A. Na reta numérica, os meios dividem o caminho de a até b em m + 1 passos iguais.
Conta-se que, criança, Gauss somou 1 + 2 + … + 100 em segundos. O truque: juntar uma cópia de cabeça para baixo da escada. Cada coluna passa a ter altura a₁ + aₙ, e as duas escadas formam um retângulo de área n·(a₁ + aₙ). A soma é metade disso.
Cada figura nova acrescenta sempre a mesma quantidade de palitos (ou de pontos). Então as quantidades formam uma P.A. Avance as figuras, descubra a razão e responda sem precisar desenhar a figura 50.
A P.A. 3, 7, 11, 15, … tem infinitos números primos? Em 1837, o alemão P. G. Lejeune Dirichlet provou que sim: se o primeiro termo e a razão são naturais primos entre si, a P.A. contém infinitos primos. Pinte uma P.A. na tabela e veja os primos (em dourado) aparecerem.
Doze questões sobre termo geral, interpolação, termos equidistantes, soma e aplicações. Cada resposta vem com a explicação.