O que é Progressão Geométrica?
A progressão geométrica (PG) é uma sequência numérica onde cada termo (a partir do segundo) é obtido multiplicando o termo anterior por um número fixo chamado razão (q).
Exemplo simples de PG
O exemplo 2, 4, 8, 16, 32...
Veja que:
4 = 2 × 2
8 = 4 × 2
16 = 8 × 2
(A razão é 2)
Veja que:
4 = 2 × 2
8 = 4 × 2
16 = 8 × 2
(A razão é 2)
Fórmulas importantes
- Termo geral (n-ésimo termo):
An = A1 × q^(n-1) - Soma dos n primeiros termos:
Sn = A1 × (q^n − 1) / (q − 1) (quando q ≠ 1)
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Exemplos práticos de PG
Exemplo 1:
PG: 5, 15, 45, 135, ...
Razão: Cada termo é o anterior multiplicado por 3.
Encontre o 6º termo.
Solução:
A1 = 5, q = 3, n = 6
A6 = 5 × 3^(6-1) = 5 × 243 = 1215
PG: 5, 15, 45, 135, ...
Razão: Cada termo é o anterior multiplicado por 3.
Encontre o 6º termo.
Solução:
A1 = 5, q = 3, n = 6
A6 = 5 × 3^(6-1) = 5 × 243 = 1215
Exemplo 2:
PG: 160, 40, 10, 2.5, ...
Note que divide por 4 a cada termo (razão = 0,25).
Qual o 5º termo?
A5 = 160 × 0,25^(5-1) = 160 × 0,00390625 = 0,625
PG: 160, 40, 10, 2.5, ...
Note que divide por 4 a cada termo (razão = 0,25).
Qual o 5º termo?
A5 = 160 × 0,25^(5-1) = 160 × 0,00390625 = 0,625
Exemplo 3:
Some os 5 primeiros termos da PG 2, 6, 18, ... (q=3)
Sn = 2 × (3^5 − 1) / (3 − 1) = 2 × (243 − 1) / 2 = 242
Some os 5 primeiros termos da PG 2, 6, 18, ... (q=3)
Sn = 2 × (3^5 − 1) / (3 − 1) = 2 × (243 − 1) / 2 = 242
Simulador visual de Progressão Geométrica
Visualize a sequência e compare os termos!
Aplicações da PG no mundo real
Outras aplicações comuns:
- Rádios, sons: O volume (decibéis) aumenta de forma geométrica.
- Códigos binários: A cada bit em um código binário, dobram as possibilidades (2n).
- Zoom e resolução: Pixels crescem seguindo progressões geométricas.
- Economia: Inflação composta, crescimento populacional etc.