Não dá para saber qual face do dado vai sair, mas dá para saber quanto cada resultado é provável. A probabilidade é esse número entre 0 e 1. Nesta página você embaralha anagramas, joga dados aos milhares, encolhe o espaço amostral com uma informação nova, desconfia de um exame positivo e vê nascer a lei binomial, sempre com a conta exata ao lado da simulação.
Probabilidade usa muita contagem. Antes, reveja a contagem em Análise Combinatória →
Coloque as letras de uma palavra num saquinho, sacuda e tire uma por uma: sai um anagrama. Isso é um experimento aleatório. Sabemos todos os resultados possíveis, mas não qual vai sair. Escolha uma condição sobre o anagrama, calcule a chance exata e depois confira sorteando centenas de vezes.
Lançando dois dados, o espaço amostral tem 6 · 6 = 36 pares ordenados (1º dado, 2º dado), todos com a mesma chance. Escolha dois eventos, A e B, e combine-os: união (A ou B), interseção (A e B), complementar (não A) e diferença (A, mas não B). O contorno escuro marca o resultado da operação.
Repetindo um experimento N vezes, se o evento ocorre n vezes, sua frequência relativa é f = n/N. No começo ela salta de um lado para outro; com muitas repetições, estabiliza perto da probabilidade teórica. Essa é a ideia da lei dos grandes números, que permite estimar probabilidades com experimentos.
Às vezes recebemos uma informação parcial: “o estudante sorteado é do turno da noite”. Essa notícia elimina parte dos resultados, e o que sobra, o evento B, vira o novo espaço amostral. A probabilidade de A dado B é P(A | B) = n(A ∩ B) / n(B). Primeiro escolha a condição B, depois o evento A.
Um exame acerta 80% dos doentes e deu positivo. A chance de a pessoa estar doente é 80%? Quase nunca! Quando a doença é rara, a maioria dos positivos vem dos muitos saudáveis que recebem um falso positivo. A probabilidade total soma os caminhos da árvore que levam ao positivo; o teorema de Bayes inverte a pergunta: sabendo que deu positivo, qual a chance de doença?
Repita n vezes, de modo independente, um experimento com só dois resultados: sucesso (probabilidade p) ou fracasso (probabilidade 1 − p). São os ensaios de Bernoulli. O número X de sucessos segue a lei binomial: cada sequência com k sucessos tem probabilidade pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ, e há C(n, k) sequências assim.
Antoine Gombaud, o Cavaleiro de Méré, ganhava dinheiro apostando que sairia pelo menos um 6 em 4 lançamentos de um dado. Achando que era a mesma coisa, passou a apostar em pelo menos um duplo 6 em 24 lançamentos de dois dados, e começou a perder. Ele levou a dúvida a Pascal, que discutiu o problema com Fermat em cartas que ajudaram a fundar a teoria das probabilidades.
Doze questões sobre espaço amostral, eventos, regra da adição, probabilidade condicional, independência, probabilidade total, Bayes e lei binomial. Cada resposta vem com a explicação.