Uma função de ℝ em ℝ é quadrática quando associa a cada x o número f(x) = ax² + bx + c, com a, b e c reais e a ≠ 0. Seu gráfico é uma parábola: o sinal de a decide a concavidade, o discriminante Δ = b² − 4ac decide quantas vezes ela toca o eixo x, e o vértice guarda o valor máximo ou mínimo. Aqui você arrasta a parábola pelo vértice, pelas raízes e pelo ponto (0, c), estuda o sinal, resolve inequações e encontra máximos em situações reais.
Mexa em a, b e c e acompanhe vértice, raízes, eixo de simetria e imagem. Arraste o ponto dourado (0, c): a parábola sobe e desce e as raízes se aproximam, se encontram (Δ = 0) e somem (Δ < 0). Ligue o rastro do vértice e anime b: o vértice passeia sobre outra parábola.
f(x) = x² − 4x + 3
Toda função quadrática pode ser escrita como f(x) = a(x − m)² + k, em que V(m, k) é o vértice. Essa é a forma canônica: a parábola de y = ax² é apenas transladada, m unidades na horizontal e k na vertical. Arraste V e veja os coeficientes b e c nascerem.
f(x) = (x − 2)² − 3
Os zeros da função são as abscissas dos pontos onde a parábola corta o eixo x. Arraste as raízes x₁ e x₂: a função fica f(x) = a(x − x₁)(x − x₂), o vértice fica sempre no ponto médio entre elas e valem as relações S = x₁ + x₂ = −b/a e P = x₁·x₂ = c/a.
f(x) = (x + 1)(x − 3)
sinais contráriosCom Δ > 0, a função tem o sinal de a fora das raízes e o sinal contrário entre elas. Com Δ = 0, tem o sinal de a em todo x, menos na raiz dupla. Com Δ < 0, tem sempre o sinal de a. Escolha os coeficientes e a desigualdade e leia a solução no gráfico e na reta real.
Quando uma grandeza é dada por uma função quadrática com a < 0, o vértice responde à pergunta “qual é o maior valor possível?”. Mexa na situação à esquerda e acompanhe o ponto andando na parábola à direita.
Doze questões sobre vértice, raízes, discriminante, imagem, sinal e otimização. Cada resposta vem com a explicação.