Vamos começar com uma visão geral das Progressões e depois nos aprofundaremos em cada tipo:

Introdução às Progressões

Uma progressão é uma sequência de números que segue um padrão específico. As duas principais tipos de progressões que estudaremos são:

1. Progressão Aritmética (PA)
2. Progressão Geométrica (PG)

Progressão Aritmética (PA)

Uma Progressão Aritmética é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior somado a uma constante. Essa constante é chamada de razão da PA.

Elementos principais de uma PA:

• a₁: Primeiro termo
• an: Termo geral (n-ésimo termo)
• r: Razão (diferença constante entre termos consecutivos)
• n: Número de termos

Fórmulas importantes:

1. Termo geral: an = a₁ + (n – 1)r
2. Soma dos termos: Sn = (n/2) * (a₁ + an)

Exemplo:

Considere a PA: 2, 5, 8, 11, 14, …

• a₁ = 2 (primeiro termo)
• r = 3 (razão, pois 5 – 2 = 3, 8 – 5 = 3, etc.)

Para encontrar o 10º termo: a₁₀ = a₁ + (n – 1)r a₁₀ = 2 + (10 – 1) * 3 a₁₀ = 2 + 27 = 29

Progressão Geométrica (PG)

Uma Progressão Geométrica é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por uma constante. Essa constante é chamada de razão da PG.

Elementos principais de uma PG:

• a₁: Primeiro termo
• an: Termo geral (n-ésimo termo)
• q: Razão (quociente constante entre termos consecutivos)
• n: Número de termos

Fórmulas importantes:

1. Termo geral: an = a₁ * q^(n-1)
2. Soma dos termos (q ≠ 1): Sn = [a₁ * (q^n – 1)] / (q – 1)
3. Soma dos termos (q = 1): Sn = n * a₁

Exemplo:

Considere a PG: 3, 6, 12, 24, 48, …

• a₁ = 3 (primeiro termo)
• q = 2 (razão, pois 6 ÷ 3 = 2, 12 ÷ 6 = 2, etc.)

Para encontrar o 7º termo: a₇ = a₁ * q^(n-1) a₇ = 3 * 2^(7-1) a₇ = 3 * 64 = 192

Excelente pergunta! Vamos deduzir a fórmula do termo geral de uma Progressão Aritmética (PA) passo a passo. Esta dedução nos ajudará a entender por que a fórmula funciona.

Dedução da Fórmula do Termo Geral de uma PA

Vamos começar escrevendo os primeiros termos de uma PA genérica:

1. a₁ (primeiro termo)
2. a₂ = a₁ + r
3. a₃ = a₂ + r = (a₁ + r) + r = a₁ + 2r
4. a₄ = a₃ + r = (a₁ + 2r) + r = a₁ + 3r
5. a₅ = a₄ + r = (a₁ + 3r) + r = a₁ + 4r

Passo 1: Observar o padrão

Observamos que cada termo pode ser escrito como:

• Mais um certo número de vezes a razão r

Passo 2: Generalizar o padrão

Notamos que:

• No 3º termo, temos 2 vezes a razão r
• No 4º termo, temos 3 vezes a razão r
• E assim por diante…

Passo 3: Expressar o padrão em função de n

Percebemos que o número de vezes que r é somado é sempre uma unidade a menos que a posição do termo.

Para o n-ésimo termo, teremos: an = a₁ + (n – 1)r

Passo 4: Verificar a fórmula

Vamos verificar se a fórmula funciona para os termos que já conhecemos:

1. Para n = 1: a₁ = a₁ + (1 – 1)r = a₁ + 0r = a₁ ✓
2. Para n = 2: a₂ = a₁ + (2 – 1)r = a₁ + r ✓
3. Para n = 3: a₃ = a₁ + (3 – 1)r = a₁ + 2r ✓
4. Para n = 4: a₄ = a₁ + (4 – 1)r = a₁ + 3r ✓

Passo 5: Interpretar a fórmula

A fórmula an = a₁ + (n – 1)r pode ser interpretada como:

• Começamos com o primeiro termo (a₁)
• Adicionamos a razão (r) repetidamente
• O número de vezes que adicionamos a razão é uma unidade a menos que a posição do termo (n – 1)

Conclusão

Assim, chegamos à fórmula do termo geral de uma PA:

an = a₁ + (n – 1)r

Onde:

• a₁ é o primeiro termo
• n é a posição do termo que queremos encontrar
• r é a razão da PA

Esta fórmula nos permite calcular qualquer termo de uma PA, conhecendo apenas o primeiro termo, a razão e a posição do termo desejado.

Exemplo Prático: Economia Mensal

Suponha que você decidiu começar a economizar dinheiro. No primeiro mês, você economiza R$ 50,00, e decide aumentar sua economia em R$ 25,00 a cada mês seguinte.

Vamos usar a fórmula para descobrir quanto você economizará no 12º mês e qual será o total economizado após um ano.

Dados do problema:

• a₁ = R$ 50,00 (primeiro termo – economia no primeiro mês)
• r = R$ 25,00 (razão – aumento mensal na economia)
• Queremos encontrar a₁₂ (12º termo – economia no 12º mês)

Passo 1: Usar a fórmula para encontrar a₁₂

Usaremos a fórmula: an = a₁ + (n – 1)r

a₁₂ = 50 + (12 – 1) × 25 a₁₂ = 50 + 11 × 25 a₁₂ = 50 + 275 a₁₂ = 325

Portanto, no 12º mês, você economizará R$ 325,00.

Passo 2: Calcular o total economizado em um ano

Para calcular o total, precisamos somar todos os termos da PA do 1º ao 12º mês. Podemos usar a fórmula da soma dos termos de uma PA:

Sn = (n/2) × (a₁ + an)

Onde:

• n é o número de termos (neste caso, 12 meses)
• a₁ é o primeiro termo (R$ 50,00)
• an é o último termo (a₁₂ = R$ 325,00, que calculamos anteriormente)

Então:

S₁₂ = (12/2) × (50 + 325) S₁₂ = 6 × 375 S₁₂ = 2.250

Portanto, após um ano, você terá economizado um total de R$ 2.250,00.

Conclusão

Este exemplo mostra como a fórmula do termo geral de uma PA pode ser aplicada em situações práticas:

1. Usamos an = a₁ + (n – 1)r para calcular quanto você economizaria no 12º mês.
2. Depois, usamos a fórmula da soma dos termos para calcular o total economizado no ano.

Estas fórmulas nos permitem fazer previsões e planejamentos financeiros de forma rápida e precisa.

Ótimo! Vou apresentar mais três exemplos práticos de como usar a fórmula do termo geral de uma Progressão Aritmética (PA). Cada exemplo abordará um contexto diferente para mostrar a versatilidade da fórmula.

Lembrando, a fórmula do termo geral de uma PA é:

an = a₁ + (n – 1)r

Onde:

• a₁ é o primeiro termo
• n é a posição do termo que queremos encontrar
• r é a razão da PA

Exemplo Prático: Crescimento Populacional

Uma cidade tem atualmente 50.000 habitantes e estima-se que sua população aumente em 1.500 pessoas por ano.

Pergunta: Qual será a população estimada daqui a 10 anos?

Solução:

• a₁ = 50.000 (população inicial)
• r = 1.500 (aumento anual)
• n = 11 (queremos o 11º termo, pois o primeiro ano é o atual)

a₁₁ = a₁ + (n – 1)r a₁₁ = 50.000 + (11 – 1) × 1.500 a₁₁ = 50.000 + 10 × 1.500 a₁₁ = 50.000 + 15.000 a₁₁ = 65.000

Resposta: Daqui a 10 anos, estima-se que a população será de 65.000 habitantes.

Exemplo Prático: Sequência de Números Ímpares

Os números ímpares formam uma PA com primeiro termo 1 e razão 2.

Pergunta: Qual é o 50º número ímpar?

Solução:

• a₁ = 1 (primeiro número ímpar)
• r = 2 (diferença entre números ímpares consecutivos)
• n = 50 (queremos o 50º termo)

a₅₀ = a₁ + (n – 1)r a₅₀ = 1 + (50 – 1) × 2 a₅₀ = 1 + 49 × 2 a₅₀ = 1 + 98 a₅₀ = 99

Resposta: O 50º número ímpar é 99.

Exemplo Prático: Produção Industrial

Uma fábrica produziu 1.000 unidades de um produto no primeiro mês de operação. A cada mês seguinte, a produção aumenta em 150 unidades.

Pergunta: Quantas unidades serão produzidas no 24º mês de operação?

Solução:

• a₁ = 1.000 (produção no primeiro mês)
• r = 150 (aumento mensal na produção)
• n = 24 (queremos o 24º termo)

a₂₄ = a₁ + (n – 1)r a₂₄ = 1.000 + (24 – 1) × 150 a₂₄ = 1.000 + 23 × 150 a₂₄ = 1.000 + 3.450 a₂₄ = 4.450

Resposta: No 24º mês de operação, a fábrica produzirá 4.450 unidades.

Excelente! Vou fornecer as soluções detalhadas para cada questão, mostrando o raciocínio passo a passo.

EXERCICIOS PARA TREINAR

Questão 1: Uma sequência aritmética tem como primeiro termo a₁ = 5 e décimo termo a₁₀ = 41.

a) Determine a razão desta PA.

b) Qual é o 100º termo desta sequência?

Dados: a₁ = 5, a₁₀ = 41

a) Para encontrar a razão (r), usamos a fórmula do termo geral:

an = a₁ + (n – 1)r

41 = 5 + (10 – 1)r

41 = 5 + 9r

36 = 9r

r = 36 ÷ 9 = 4

b) Para o 100º termo, usamos a fórmula com n = 100:

a₁₀₀ = a₁ + (n – 1)r

a₁₀₀ = 5 + (100 – 1)4

a₁₀₀ = 5 + 99 × 4

a₁₀₀ = 5 + 396 = 401

Respostas: a) r = 4, b) a₁₀₀ = 401

Questão 2: Em uma PA, a soma do 5º termo com o 10º termo é igual a 39, e a soma do 15º termo com o 20º termo é igual a 69. Determine:

a) A razão da PA.

b) O primeiro termo da PA.

Dados: a₅ + a₁₀ = 39, a₁₅ + a₂₀ = 69

a) Usamos a fórmula do termo geral para expressar cada termo:

(a₁ + 4r) + (a₁ + 9r) = 39 (Equação 1)

(a₁ + 14r) + (a₁ + 19r) = 69 (Equação 2)

Subtraindo Equação 1 de Equação 2:

(a₁ + 14r) + (a₁ + 19r) – [(a₁ + 4r) + (a₁ + 9r)] = 69 – 39

20r = 30

r = 30 ÷ 20 = 1.5

b) Substituindo r = 1.5 na Equação 1:

(a₁ + 4 × 1.5) + (a₁ + 9 × 1.5) = 39

(a₁ + 6) + (a₁ + 13.5) = 39

2a₁ + 19.5 = 39

2a₁ = 19.5

a₁ = 9.75

Respostas: a) r = 1.5, b) a₁ = 9.75

Questão 3: Uma empresa de tecnologia lança um novo modelo de smartphone a cada ano. No primeiro ano, venderam 2 milhões de unidades. A cada novo lançamento, as vendas aumentam em 800 mil unidades em relação ao ano anterior. No entanto, a partir do 6º ano, as vendas começam a diminuir em 300 mil unidades por ano.

a) Quantas unidades serão vendidas no 5º ano?

b) Em que ano as vendas voltarão ao nível do primeiro ano?

Dados: a₁ = 2 milhões, r₁ = 800 mil (até o 5º ano), r₂ = -300 mil (a partir do 6º ano)

a) Para o 5º ano, usamos a fórmula do termo geral:

a₅ = 2,000,000 + (5 – 1) × 800,000

a₅ = 2,000,000 + 3,200,000 = 5,200,000

b) Para encontrar quando as vendas voltarão ao nível inicial, usamos:

2,000,000 = 5,200,000 + (n – 5) × (-300,000) – 3,200,000 = (n – 5) × (-300,000) 10.67 = n – 5 n ≈ 15.67

Arredondando para cima, será no 16º ano.

Respostas: a) 5,200,000 unidades, b) 16º ano

Questão 4: Em uma PA de 20 termos, sabe-se que a soma dos 5 primeiros termos é 45 e a soma dos 5 últimos termos é 170. Determine:

a) O primeiro termo da PA.

b) A razão da PA.

c) A soma de todos os 20 termos.

Dados: 20 termos, soma dos 5 primeiros = 45, soma dos 5 últimos = 170

a) e b) Usamos as fórmulas da soma dos termos de uma PA:

45 = (5/2)(2a₁ + 4r) (Equação 1)

170 = (5/2)(2a₁ + 38r) (Equação 2)

Multiplicando Equação 1 por 4:

180 = 10a₁ + 20r (Equação 3)

Subtraindo Equação 3 de Equação 2:

-10 = -8a₁ + 18r

8a₁ = 18r + 10

a₁ = (18r + 10) ÷ 8 (Equação 4)

Substituindo Equação 4 em Equação 1:

45 = (5/2)(2((18r + 10) ÷ 8) + 4r)

72 = (18r + 10) ÷ 4 + 4r

288 = 18r + 10 + 16r

278 = 34r

r = 278 ÷ 34 ≈ 8.18

Substituindo r em Equação 4:

a₁ = (18 × 8.18 + 10) ÷ 8 ≈ 20.40

c) Para a soma de todos os 20 termos, usamos:

S₂₀ = (20/2)(2a₁ + (20-1)r)

S₂₀ = 10(2 × 20.40 + 19 × 8.18)

S₂₀ = 10(40.80 + 155.42)

S₂₀ = 1,962.20

Respostas: a) a₁ ≈ 20.40, b) r ≈ 8.18, c) S₂₀ ≈ 1,962.20

Questão 5: Três números estão em PA. O produto dos dois primeiros é 180, e o produto dos dois últimos é 1020.

a) Quais são esses três números?

b) Se continuássemos esta PA, qual seria o 50º termo?

Dados: Três números em PA, produto dos dois primeiros = 180, produto dos dois últimos = 1020

a) Sejam os números x, y, z. Temos:

x × y = 180 (Equação 1)

y × z = 1020 (Equação 2)

y = (x + z) ÷ 2 (propriedade da PA)

Substituindo y na Equação 1:

x × ((x + z) ÷ 2) = 180

x² + xz = 360 (Equação 3)

Substituindo y na Equação 2:

((x + z) ÷ 2) × z = 1020

xz + z² = 2040 (Equação 4)

Subtraindo Equação 3 de Equação 4:

z² – x² = 1680

(z + x)(z – x) = 1680

z + x = 60 e z – x = 28 (fatores de 1680 que somam 88)

Resolvendo:

b) Para o 50º termo, calculamos a razão:

r = (z – y) = (y – x) = 14

Usamos a fórmula do termo geral:

a₅₀ = 16 + (50 – 1)14

a₅₀ = 16 + 686 = 702

Respostas: a) 16, 30, 44, b) a₅₀ = 702