Inequações

Introdução

Uma inequação é uma expressão matemática que relaciona duas expressões através de desigualdades, em vez de igualdades. As desigualdades comuns são:

  • < (menor que)
  • > (maior que)
  • ≤ (menor ou igual a)
  • ≥ (maior ou igual a)

As inequações são fundamentais para descrever intervalos e condições em que uma determinada relação é verdadeira.

Conceitos Fundamentais

Diferença entre Equações e Inequações

  • Equações: Relacionam duas expressões por igualdade (=).
  • Inequações: Relacionam duas expressões por desigualdade (<,>,≤,≥).

Solução de Inequações

A solução de uma inequação é o conjunto de valores para os quais a desigualdade se mantém verdadeira. Essas soluções são frequentemente expressas em termos de intervalos na reta numérica.

Intervalos

Intervalos são usados para representar o conjunto de soluções de uma inequação. Os principais tipos de intervalos são:

  • Aberto: (a,b) representa a<x<b
  • Fechado: [a,b] representa a≤x≤b
  • Semiaberto/Semifechado: (a,b] ou [a,b), misturam características dos dois anteriores.

Notação de Conjuntos

  • x∈(a,b): x pertence ao intervalo aberto de a a b.
  • x∈[a,b]: x pertence ao intervalo fechado de a a b.

Resolvendo Inequações

Princípios de Resolução

As regras para manipular inequações são semelhantes às das equações, com exceção de um detalhe importante: multiplicar ou dividir ambos os lados por um número negativo inverte a desigualdade.

Exemplo de Inversão:

Se a>b, então −a<−b.

Passos para Resolver Inequações

  1. Isolamento da Variável: Use operações algébricas para isolar a variável em um dos lados da desigualdade.
  2. Verificação de Inversões: Ao multiplicar ou dividir por números negativos, inverta a desigualdade.
  3. Representação em Intervalos: Expresse a solução em termos de intervalos, se aplicável.
  4. Representação Gráfica: Use uma reta numérica para representar graficamente a solução.

Exemplos de Resolução

Exemplo 1: Inequação Simples

Exemplo 2: Inequação com Multiplicação Negativa

Exemplo 3: Inequação com Frações

Exemplo 4: Inequação Quadrática

Inequações quadráticas são resolvidas encontrando as raízes da equação quadrática associada e determinando os intervalos em que a desigualdade é satisfeita.

Aplicações Práticas de Inequações

As inequações são amplamente utilizadas para modelar situações do mundo real:

  • Economia: Determinar intervalos de preços em que um produto é rentável.
  • Engenharia: Calcular limites de carga para estruturas.
  • Ciências Sociais: Analisar dados populacionais e prever tendências.

Exemplo 1: Inequação Linear com Distribuição

Exemplo 2: Inequação com Frações e Negativos

Problema Prático: Orçamento de Compra

Problema Prático: Planejamento de Viagem

As inequações são uma ferramenta poderosa na matemática, permitindo a descrição de intervalos e condições sob as quais certas relações são verdadeiras. Elas são essenciais em diversas disciplinas e aplicáveis em várias situações do mundo real. A prática de resolver inequações desenvolve habilidades críticas de pensamento lógico e resolução de problemas.