Funções

Introdução às Funções: Uma Jornada da Abstração à Aplicação

As funções são um dos conceitos mais fundamentais e poderosos da matemática. Elas descrevem relações entre diferentes grandezas, permitindo modelar e prever o comportamento de fenômenos em diversas áreas do conhecimento, desde a física e a economia até a biologia e a ciência da computação. Nesta introdução, exploraremos o conceito de função, sua representação, tipos de funções, intervalos e exemplos práticos, com demonstrações algébricas rigorosas e passo a passo para cada resolução.

O que é uma Função?

Uma função é uma relação entre dois conjuntos, chamada de domínio e contradomínio, que associa a cada elemento do domínio um único elemento do contradomínio. Podemos visualizar uma função como uma “máquina” que recebe uma entrada (elemento do domínio) e produz uma saída única (elemento do contradomínio).

Formalmente: Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Uma função f de A em B é uma relação que associa a cada elemento x ∈ A um único elemento y ∈ B, denotado por f (x) = y.

Domínio (D(f)): O conjunto de todas as entradas válidas para a função.
Contradomínio (CD(f)): O conjunto que contém todas as possíveis saídas da função.
Imagem (Im(f)): O conjunto dos elementos do contradomínio que são efetivamente atingidos pela função.
Em outras palavras, Im(f) = {y ∈ B | existe x ∈ A tal que f(x) = y}.

Definição de Função

No estudo da matemática, uma função é uma relação entre dois conjuntos, geralmente denominados domínio e contradomínio. Formalmente, uma função

é uma regra que associa a cada elemento x em A (domínio) um único elemento y em B (imagem ou contradomínio), tal que y = f (x).

Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras

Função Injetora (Injetiva): Uma função é injetora se cada elemento do contradomínio é mapeado por no máximo um elemento do domínio. Em termos simples,

Função Sobrejetora (Sobrejetiva): Uma função é sobrejetora se todo elemento do contradomínio é a imagem de pelo menos um elemento do domínio. Isto significa que o contradomínio é totalmente “coberto” pela função.

Função Bijetora (Bijetiva): Uma função é bijetiva se é simultaneamente injetiva e sobrejetiva. Isso implica que cada elemento do domínio é mapeado para um elemento único e cada elemento do contradomínio é atingido.

EXEMPLO1:

Intervalos

Intervalos são conjuntos de números reais que podem representar o domínio ou a imagem de uma função. Eles são definidos por dois extremos, que podem ser inclusivos ou exclusivos.
Intervalo fechado: Inclui os extremos.

Notação: [a,b]={x∈R∣a≤x≤b}.

Representação de Funções

Diagramas de Venn: Utilizam círculos para representar os conjuntos domínio e contradomínio, com setas indicando a correspondência entre os elementos. Essa representação é útil para visualizar o conceito de função, mas se torna impraticável para domínios e contradomínios muito grandes.

Tabelas: Listam os elementos do domínio e suas respectivas imagens no contradomínio. Essa representação é útil para conjuntos finitos, mas não para conjuntos infinitos ou contínuos.

Gráficos: Representam a função em um plano cartesiano, onde o eixo horizontal representa o domínio e o eixo vertical representa o contradomínio. O gráfico de uma função é o conjunto de todos os pontos (x, f (x)), onde x pertence ao domínio.

Fórmulas: Expressam a relação entre as variáveis de forma algébrica. Essa é a forma mais comum e versátil de representar funções. Por exemplo, f (x) = 2x + 1 define uma função que dobra o valor de entrada e adiciona 1.

Definição de Função Linear

Uma função linear é uma função polinomial de grau 1, representada na forma geral por:

onde a e b são constantes, com a é diferente de 0 (zero). Aqui, a é conhecido como o coeficiente angular, e b é o coeficiente linear.

Propriedades de uma Função Linear

Aplicações Práticas

Funções lineares aparecem em muitos contextos do mundo real, como a modelagem de custos, lucros e crescimento populacional. A interpretação do coeficiente angular e linear pode ajudar a compreender tendências e prever resultados futuros.

EXEMPLO 1:

Uma empresa planeja vender um produto com um custo fixo de $500 e um custo variável de $50 por unidade. Escreva a função de custo total C(x) em termos do número de unidades x e determine o custo total para 100 unidades.

EXEMPLO 2:

Uma fábrica possui um custo fixo mensal de $2000 e um custo variável de $10 por produto fabricado. Escreva a função que representa o custo total C(x) em termos do número de produtos x produzidos, e determine o número de produtos necessários para que o custo total seja $5000.

EXEMPLO 3:

EXEMPLO 4:

A temperatura em uma cidade ao longo do dia pode ser modelada pela função linear T(h)=2h+15, onde T(h) é a temperatura em graus Celsius e h é a hora do dia (considerando h=0 ao meio-dia). Determine a temperatura às 3 horas da tarde (ou seja, h=3) e o horário em que a temperatura atinge 25°C.

EXEMPLO 5:

Uma empresa produz gadgets com um custo fixo mensal de $1500 e um custo de produção de $20 por gadget. A empresa vende cada gadget por $50. Determine a função de lucro L(x) e calcule quantos gadgets precisam ser vendidos para um lucro de $4500.

EXEMPLO 6:

A temperatura diária em uma cidade pode ser modelada por T(h)=−3h+30, onde T(h) é a temperatura em graus Celsius e h é a hora do dia contada a partir das 6h da manhã. Determine a temperatura às 9h e o horário em que a temperatura desce para 15°C.

EXEMPLO 7:

Uma empresa de serviços digitais cobra uma taxa fixa de $200 por projeto mais $30 por hora de trabalho. Determine a função de receita R(x) e calcule quantas horas precisam ser trabalhadas em um projeto para gerar uma receita de $800.

EXEMPLO 8:

Uma fábrica produz dois tipos de produtos: A e B. O custo de produção de cada unidade de A é $40, e de B é $60. O custo fixo da fábrica é $5000. A fábrica precisa produzir pelo menos 100 unidades de A e 150 unidades de B. No entanto, por restrições de capacidade, o total de produtos A e B não pode exceder 500 unidades. Escreva a função de custo total C(x,y) e determine o número de unidades de A e B que minimizam o custo, respeitando as restrições.

EXEMPLO 9:

Uma empresa ajusta o preço de um produto regularmente. O preço p por unidade é dado pela função linear p=100−0.5q, onde q é a quantidade vendida. Determine a função de receita R(q) e descubra a quantidade q que maximiza a receita.

EXEMPLO 10: