O Infinito Domesticado: Como Euclides Transformou o Caos em Ordem

Por Upsilon AVAMI e Lessandra Marcelly

“E as paralelas dos pneus n’água das ruas são duas estradas nuas em que foges do que é teu. No apartamento, oitavo andar, abro a vidraça e grito. Grito quando o carro passa, teu infinito sou eu, sou eu, sou eu…”   (Belchior)

Imagine um mundo sem réguas, sem esquadros, sem a certeza de que duas retas paralelas jamais se encontrarão. Um mundo onde a própria noção de ‘reto’ seria um mistério insondável. Foi deste caos conceitual que Euclides nos salvou, há mais de dois mil anos, com cinco afirmações aparentemente simples que se tornaram os pilares da civilização matemática.

A geometria Euclidiana é a geometria que dominou centenas e centenas de anos. Os cinco postulados de Euclides garantiram uma construção geométrica que foi mantida como verdadeira, com exceção de um dos postulados que foi questionado desde o início de sua existência. Mesmo assim, com essas abordagens, Euclides garantiu a veracidade de suas aplicações. Mas quando Euclides caminhava pelos corredores da Grande Biblioteca de Alexandria no século III a.C., ele não imaginava que estava prestes a criar uma das obras mais influentes da história humana. Os Elementos não eram apenas um livro de geometria – eram uma revolução silenciosa que mudaria para sempre nossa relação com a realidade.

É assim que tudo ocorre na matemática, ou você tem fé e acredita ou você duvida e paga para ver. Que bom que existe o livre arbítrio. Pois, acreditar que existem infinitos pontos em uma reta… talvez seja melhor não duvidar. Mas por que os postulados de Euclides foram tão revolucionários? A resposta está na audácia de suas afirmações. Enquanto seus contemporâneos se contentavam com aproximações práticas – cordas para medir terras, réguas para construir templos – Euclides teve a coragem de postular verdades absolutas sobre a natureza do espaço. Mas, nem tudo foi aceito sem demonstração como Euclides talvez pretendia, dos seus cinco postulados, um bagunçou a vida de muita gente. O conhecido postulado das paralelas.

Para entender tudo isso, precisamos de um ponto de partida. Então vamos partir do primeiro postulado de Euclides. O primeiro postulado diz que existe um ponto P e um ponto Q que para qualquer ponto P e para qualquer ponto Q, diferente de P, existe uma única reta que passa por P e Q. Essa aparente obviedade esconde uma revolução conceitual. Euclides estava afirmando que o universo é determinístico – que existe uma e apenas uma maneira de conectar dois pontos pelo caminho mais direto. Imagine a audácia dessa afirmação! Euclides poderia ter vivido em um mundo onde múltiplas “retas” conectassem dois pontos, ou onde nenhuma conexão direta fosse possível. Ao escolher a unicidade, ele estava fazendo uma aposta ousada sobre a natureza da realidade.

Axioma ou postulado é como se fosse uma afirmação que é aceita como verdadeira e não precisa de demonstração. Ou seja, ela é tida como consenso inicial e não precisa ser provada. Assim, o segundo axioma de Euclides diz que para qualquer segmento AB e qualquer segmento CD, existe um único ponto E tal que B está entre A e E, e o segmento CD é congruente ao segmento BE. Mas o segundo postulado vai ainda mais longe: Qualquer segmento de reta pode ser prolongado indefinidamente. Aqui, Euclides não estava apenas lidando com o finito e tangível – estava abraçando o infinito como uma realidade geométrica necessária. Para as civilizações antigas, que frequentemente concebiam o universo como finito e limitado, esta era uma afirmação revolucionária. Euclides estava declarando que o espaço não tem fronteiras, que podemos sempre ir mais longe, sempre estender nossa linha um pouco mais.

A terceira afirmação considerada como verdade inquestionável, também conhecida como o terceiro postulado de Euclides, diz que para todo ponto O e todo ponto A, diferente de O, existe uma circunferência com centro O e raio OA. Com este postulado, Euclides introduziu algo mágico: pela primeira vez, a curvatura entrava oficialmente no universo geométrico, mas de forma controlada e previsível. O círculo representa uma forma de perfeição que fascinou a humanidade desde sempre. Todos os pontos da circunferência estão exatamente à mesma distância do centro – uma propriedade que não é compartilhada por nenhuma outra curva simples. Quando Leonardo da Vinci desenhou o Homem Vitruviano inscrito em um círculo, estava celebrando esta perfeição euclidiana.

O quarto postulado diz que todos os ângulos retos são congruentes. As quatro afirmações parecem óbvias, e portanto, basta crer. Mas essa aparente obviedade estabelece algo profundo – que o espaço tem uma estrutura uniforme em todos os lugares. Um ângulo reto construído em Atenas é exatamente igual a um ângulo reto construído em Tóquio, ou em qualquer lugar do universo. Esta universalidade foi fundamental para o desenvolvimento da arquitetura, navegação e, eventualmente, para nossa exploração do cosmos.

Porém, o quinto postulado de Euclides tirou sono de muita gente. O quinto postulado diz que para toda reta t e para todo ponto P, que não pertença a t, existe uma única reta m, que passa por P e é paralela a t. Euclides admitiu esses cinco axiomas, verdades inquestionáveis (ou deveria ser) e através de um sistema axiomático, Euclides provou que os seus resultados estavam corretos. Mas nem tudo foi aceito sem questionamentos. O famoso postulado das paralelas bagunçou a vida de muita gente por mais de dois mil anos. Este postulado era diferente dos outros. Enquanto os primeiros quatro eram elegantemente simples, o quinto era verboso e menos autoevidente. Mesmo Euclides parecia desconfortável com ele, evitando usá-lo pelo maior tempo possível em Os Elementos.

O postulado das retas paralelas transformou-se em uma polêmica, dúvidas surgiram sobre esta afirmação por muitos e muitos longos anos. O pioneiro a questionar a veracidade do quinto postulado foi Ptolomeu de Alexandria. Outro matemático foi Próclo (410-485) que também criticou o postulado das paralelas de Euclides. Por mais de dois milênios, matemáticos de todas as culturas tentaram provar o quinto postulado usando apenas os outros quatro. Esta não era apenas uma curiosidade acadêmica – havia uma sensação genuína de que este postulado era diferente, menos fundamental.

Outro matemático que tentou até desistir provar este postulado foi John Wallis (1616-1703) que, por não ter conseguido, acabou propondo um novo postulado. O postulado de Wallis diz que se são dados qualquer triângulo ΔABC e qualquer segmento DE, existe um triângulo DEF (tendo DE como um dos seus lados) que é semelhante ao triângulo ABC (denotado ΔDEF~ΔABC). O significado intuitivo do postulado de Wallis é que podemos variar o tamanho de um triângulo tanto quanto se queira, sem deformidade. Baseando-se nesta afirmação de Wallis o postulado das paralelas pode ser provado. O postulado de Wallis é logicamente equivalente ao V Postulado de Euclides.

No entanto, foi Gerolamo Saccheri (1667-1733) que descobriu que existia outra geometria que não era euclidiana. Saccheri chegou perigosamente perto de descobrir geometrias não-euclidianas, mas recuou no último momento, convencido de que havia encontrado contradições onde na verdade havia descoberto novas verdades. A confusão está posta, até brigas de famílias surgiram por conta disso, pelo menos foi o que aconteceu com o jovem matemático János Bolyai (1802-1860) e seu pai Wolfgang Bolyai (1775-1856), por conta de registros do jovem Bolyai que admitiu a negação do postulado das paralelas de Euclides como hipótese não absurda, o pai foi acusado pelo filho de ter tomado para si suas descobertas e ter publicado.

Gauss (1777-1855) que somente publicava trabalhos completos nem arriscou a sua reputação para duvidar de algo que tanta gente já tinha perdido a fé. Segundo ele, se algo é inatingível para que duvidar? Para Gauss a geometria de Euclides não poderia ser demonstrada nessa vida, talvez em outra vida. Haja vista que, existem evidências que Gauss também estudou geometria não euclidiana. Até mesmo Carl Friedrich Gauss, o “Príncipe da Matemática”, explorou essas questões, mas hesitou em publicar por medo da reação da comunidade matemática. Ele chamava suas descobertas de “geometria anti-euclidiana” e temia “o clamor dos beócios.”

O primeiro a publicar sobre Geometria não-Euclidiana foi Nicolai I. Lobachevsky (1792-1856) e isso ocorreu em 1829. Inicialmente nomeou sua geometria de “geometria imaginária” e, depois, “pangeometria”. No início do século XIX, três matemáticos trabalhando independentemente fizeram a descoberta que mudaria para sempre nossa compreensão da realidade: Nikolai Lobachevsky, na Rússia, foi o primeiro a publicar uma geometria consistente que negava o quinto postulado. Em sua “geometria imaginária,” por um ponto externo a uma reta passam infinitas retas paralelas. János Bolyai, na Hungria, chegou às mesmas conclusões independentemente. Seu pai, também matemático, havia implorado para que abandonasse esta busca, chamando-a de “uma tentação que pode tomar todo o seu tempo e privá-lo de sua saúde.” Carl Friedrich Gauss havia chegado às mesmas conclusões anos antes, mas manteve suas descobertas em segredo. Alguns dos melhores matemáticos como Beltrami, Klein, Riemann também acreditaram na geometria não-Euclidiana e aplicaram em outras áreas da Matemática como na Teoria das Funções Complexas.

Cerca de dois séculos os matemáticos tentaram provar o V postulado de Euclides, ou seja, a fé não foi suficiente para acreditar no quinto postulado, talvez porque o postulado das paralelas não parecesse tão evidente quanto os outros quatro postulados. Não era suficiente acreditar que uma reta, encontrando duas retas, e os ângulos interiores e sobre o mesmo lado, menores do que dois retos, as duas retas, se prolongadas indefinidamente, encontram-se sobre o lado em que estão os ângulos menores do que dois retos. A geometria hiperbólica revelou um universo radicalmente diferente do euclidiano. Neste espaço de curvatura negativa: por qualquer ponto externo a uma reta, passam infinitas retas paralelas; a soma dos ângulos de um triângulo é sempre menor que 180°; não existem retângulos – figuras com quatro ângulos retos são impossíveis; a circunferência de um círculo cresce exponencialmente com o raio. Estas propriedades parecem absurdas do ponto de vista euclidiano, mas são perfeitamente consistentes dentro do sistema hiperbólico.

Em 1763 Georg S. Klügel (1739-1812) mostra, em sua tese de doutorado, supostas provas sobre as falhas dessa afirmação acima. Em 1868, Eugenio Beltrami (1835-1900) provou que não há demonstração para o postulado das paralelas e, assim prova que existe uma Geometria que não é euclidiana. Desta forma, Beltrami provou que, não só existe uma outra geometria que não é a de Euclides, como também, que esta geometria é tão consistente quanto a Geometria Euclidiana. Ironicamente, essas geometrias “imaginárias” tornaram-se fundamentais para a física do século XX. A teoria da relatividade geral de Einstein descreve o espaço-tempo como tendo curvatura variável, usando conceitos diretamente derivados das geometrias não-euclidianas. Quando observamos a deflexão da luz durante eclipses solares, estamos testemunhando a curvatura não-euclidiana do espaço causada pela gravidade do Sol.

Para podermos negar a unicidade deste postulado tão questionado pelos matemáticos só teria uma maneira ou negar que não existem retas paralelas ou então, axiomatizar que existem duas retas paralelas a uma outra reta passando por um ponto dado. Henri Poincaré (1854-1912), considerado um dos maiores matemáticos do século XX afirmou que duas retas são paralelas se e somente se elas não têm nenhum ponto em comum. Hoje, a geometria hiperbólica tem aplicações surpreendentes: redes de internet usam topologia hiperbólica para organizar eficientemente grandes redes; algoritmos de inteligência artificial usam espaços hiperbólicos para modelar dados complexos; alguns tecidos biológicos crescem seguindo padrões hiperbólicos naturais; artistas como M.C. Escher exploraram visualmente essas geometrias alternativas.

Matemático do mesmo nível de Poincaré, David Hilbert (1862-1943) faz um livro baseado em três axiomas que ele chamou de ponto, reta e plano. Com esses axiomas Hilbert faz relações mútuas em volta destes objetos relacionando com as lógicas e a geometria euclidiana. Nesta obra, intitulada “The Foundations of Geometry” o autor introduz proposições da geometria euclidiana e assim, prova que é possível demonstrar as proposições da geometria de Euclides e isso independente do axioma da continuidade. O autor dividiu a geometria em grupos de axiomas, nos seus dois primeiros capítulos, Hilbert mostra os elementos da geometria em cinco grupos de axiomas: axioma de incidência, axioma de ordenação, axioma de congruência, axioma das paralelas e o axioma de continuidade. E assim, definiu e demonstrou as consequências das relações entre os axiomas dados. Como, por exemplo, as consequências dos axiomas de incidência e ordenação, como também, o axioma de congruência.

Depois de demonstrar as contradições dos axiomas, Hilbert investiga as independências entre si destes axiomas e prova que o axioma das paralelas é independente dos demais axiomas. E, com proposições pertinentes comprova com rigor a existência de uma geometria não-euclidiana, já que, esta nova geometria são válidos todos os axiomas menos o quinto postulado de Euclides. Os cinco postulados de Euclides nos ensinaram uma das lições mais importantes da história da matemática: axiomas não são verdades absolutas sobre a realidade, mas escolhas que definem sistemas lógicos específicos. Esta percepção foi revolucionária. Por mais de dois mil anos, a geometria euclidiana havia sido vista como uma descrição literal da realidade física. A descoberta de que outras geometrias eram possíveis forçou uma reavaliação profunda da relação entre matemática e realidade.

Diante de tantos matemáticos importantes envolvidos, não tenhamos dúvida que uma gama de conhecimentos se acumularam na história das geometrias e dos seus axiomas. E, também que a presença de Euclides é marcante até para o momento de nomear as novas geometrias. A importância de Euclides é tão grande para as ciências matemáticas que se não é Euclides é Não-Euclides. Os cinco postulados criaram mais que um sistema geométrico – eles estabeleceram o padrão para o rigor matemático, demonstrando como um pequeno conjunto de assunções pode gerar um universo rico de conhecimento. Eles nos ensinaram que a verdade matemática é construída, não descoberta por acaso; que a precisão conceitual é fundamental para o progresso; que a beleza e a utilidade podem coexistir na matemática; que sistemas formais podem ter aplicações que transcendem suas origens.

Mas agora coisas diferentes que estudávamos na escola básica apareceram, como por exemplo: que pelo menos duas paralelas agora passando por um ponto (geometria hiperbólica), a soma dos ângulos de um triângulo é menor que o ângulo raso (geometria hiperbólica), as paralelas se encontram em um ponto (geometria projetiva), reta é o que antes era semirreta (geometria de incidência). Ou seja, tudo é uma questão de axiomas bem definidos e modelos construídos. Talvez a lição mais profunda dos postulados de Euclides seja que a realidade tem múltiplas faces. Assim como existem múltiplas geometrias, cada uma válida em seu próprio contexto, existem múltiplas maneiras de compreender e navegar pelo mundo. A geometria euclidiana permanece perfeita para construir casas e navegar pelos oceanos. A geometria hiperbólica é essencial para compreender o cosmos e organizar redes de computadores. Cada uma tem seu lugar, sua beleza, sua verdade.

Foi provado que o axioma das paralelas de Euclides é independente dos seus outros postulados. Assim, os matemáticos criaram outros modelos, substituíram este postulado e criaram outros tipos de paralelas. Quando olhamos para o futuro – para os desafios da inteligência artificial, da exploração espacial, da sustentabilidade ambiental – os cinco postulados de Euclides continuam a nos inspirar. Eles nos lembram que grandes avanços começam com princípios simples e claros, que a precisão conceitual é fundamental, e que a beleza e a verdade são companheiras inseparáveis na busca humana pelo conhecimento. Os postulados de Euclides não são apenas marcos da matemática – eles são testemunhos eternos da capacidade humana de compreender e moldar a realidade através do poder da razão.

Mas de que paralela Belchior estava falando quando compôs a música das paralelas? “E as paralelas dos pneus n’água das ruas são duas estradas nuas em que foges do que é teu. No apartamento, oitavo andar, abro a vidraça e grito. Grito quando o carro passa, teu infinito sou eu, sou eu, sou eu…”. Qual modelo ela estava se referindo… Hem? E quando nos perguntamos, como Belchior em sua canção, de que paralelas estamos falando, a resposta é: de todas elas. Porque cada geometria nos oferece uma lente diferente para enxergar o infinito que somos, cada um de nós, em nossa própria jornada através do espaço e do tempo. Em um mundo cada vez mais complexo, os postulados permanecem como faróis de clareza, guiando-nos em nossa jornada contínua de descoberta e compreensão do infinito domesticado que Euclides nos legou.

Referências bibliográficas

HILBERT, D. The Foundations of Geometry. Chicago, 1902.

GREENBERG, Marvin Jay. Euclidean and Non-Euclidean Geometries: Development and History. New York: Macmillan, 1993.

BONOLA, Roberto. Non-Euclidean Geometry: A Critical and Historical Study. New York: Dover Publications, 1955.

EUCLIDES. Os Elementos. Tradução e introdução de Irineu Bicudo. São Paulo: Editora UNESP, 2009.